「Origin、拾柒」
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半退，周末偶尔看看（悲）.我会回来滴
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签名:拾柒の小宇宙↓↓↓ 师傅：劳埃德福杰、屑酷桃 推荐：imgainary_unmber+2fedty +昵称副本+满脑子都是胡桃+乾坤小火柴 朋友：昵称副本、乾坤小火柴、静好、最简真分数 可咨询UI交互系统/设计 不常上线.请见谅. 假期也没时间.*悲
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Rainbow工作室数学竞赛命钪址题人:冒充者小红满分:150分选择题(每题4分，共40分)1.求1+2+3+…+16的值()A.126B.136C146D.1562.矩形ABCD的对角线长为14，周长为32，则该矩形的面积为()A.30B.4560D.753.已知x,y∈C满足x3+x=y3+y,则x3-y的值为()B.0C-1D无法确定A14:方程组2x+3y=2024,5x-2y=1000,41x-5y=13072的实数解的个(组)数为()C.2D.无穷A.05.记AABC的三个内角角度为A,B,C，它们的对边分别为a,b,c,日a+b=2c,a2+b2-c2=ab,则下列说法正确的是()A.sinA+sinB=V3B.C=30°C.cosA-1D.2c是a和b的等差中项6.定义f(x)=x3-ax?-ax+3(如f(1)=1-a-a+3=-2a+4),其中a是常数，若对于任意y<z，均有f(y)<f(z),求a的取值范围()D.-2sa≤1.Aa<-3或a≥0B-3xas0cas-2或a>17.甲乙,两人相向而行，各自匀速运动，两人起初相距n个单位，甲的速度为每秒x个单位乙的速度为每秒y个单位，下列说法正确的是()A.5秒后，两人相距n-5x-5y个单位B.两人相遇需要”-秒C.若n=x=y=1,则甲乙相遇需1秒D.设x>n>y>2024,则除了开始时刻之外，甲乙再次相距n个单位需要的时间小于2秒8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C--%-1(ab>0过点(1,0)其左、右焦点为EF,过F作x轴垂线交C丁A,B两点，AO-V3，则b2=0)C1D.3B.2A.19.方程x3-3x+1=0的实数解的个数为()C2D.3A.03.1NNA=C-1若B的行列式不为0，则AB10.A,B,C都是三阶方阵，B2=B，C=的行列式为()A7(-2)B(-1)C了(0)D.了(-3)、填空题(每题5分，共35分)11.若a+b=0日ab=-1则a-b=12.(x²+y)5展开后项x'y’的系数为13.从15名学生中选出6人参加活动(不考虑顺序)一共有种选法14.袋中有10个除颜色外完全相同的小球，有7个白色球，3个黑色球，若将连续不放回地摸4次称为“一次实验”，每次实验后将摸出的小球放回袋中，则两次实验后共摸出3个黑球的概率为15.随机变量X服从正态分布(2,1)，则P(3<X<4)=(精确到0.01)16.设x=siny,求些17.以点W为圆心的圆W半径为2，直线|1交W于A,B两点，AB=2V3，过A作I1垂线交W于另外一点P，过P作W的切线12与I1交于C点，过C作直线I3交于D，E两点了内人-T1/Y52三、解答题(共75分Dnbn-1an:4n-118.(9分)已知数列{a-},{bm},其中an=ebn,n>2时=e日数列{an}递增bn-1-Dn72(1)证明:{an}是等比数列(2)记Tn是数列{an}的前n项积，若a1是a和az的等比中项，且a1>e，求证In<Ven(a*n+1--)19.(9分)记三角形三个内角分别为A,B,C，其对边分别为a,b,c，日(tanA-1)(tanB-1)=2,sinCsinB=cosAAB,C≠.(1)求sinA(2)设c=10,求BC边上的高20.(10分)记f区)=xx《>0),(如f(2)=4,f(3)=27)(1)讨论f区)的单调性(2)对于任意x,均有f(x)>kx，(k是常数)求k的最大值21.(10分)甲乙两人进行投篮，第一次投篮的人由抽签决定，抽到每个人的概率均为0.5。每次投篮，无论谁投篮，若投进则下一次投篮者不变，，若没投进则下一次由对方投篮，已知甲投进的概率是0.6，乙投进的概率是0.8。(1)求第3次是甲投篮的概率(2)求第n(n为正整数)次是甲投篮的概率22.(11分)设f(x)=x3-3x+nx+r(1)求该三次曲线的对称中心横坐标(2)将三次曲线横向平移，使得其对称中心横坐标为0，设平移后的三次曲线为f&)=x3+px+9，求p,9(用含有n,r的代数式表示)，并根据p,q的情况讨论该函数零点个数(3)在(2)的基础上利田完金文方公式讨论亚移后的三次曲线在，人上明零点的值(用含有p,q的代数式表示)23.(12分)反证法是证明数的性质的常用方法，即假设命题不成立，再推得矛盾(1)求证:√2是无理数(2)设neN+日n不是完全平方数，求证:√n是无理数(3)求证:e是无理数24.(14分)微积分是数学当中的重要思想(1)解微分方程:≌=cy+s(其中c,s是常数(2)微分方程常和积分有着重大的联系。记(x)=cos"x(n为正整数目n>1),求证:∫f(x)dx=-sinxfn-1(x)+∫fn-2«)@x(3)求/1V1+√1-x3+V1-V1-x3dx参考数据:e是自然对数的底，e-1+-+-+a+若随机变量X服从正态分布(u,o2则P(μ-o<X<u+o)~0.6827P(u-2o<X<u+20)~0.9545 嗯……
2024-07-24T23:09:49 点赞:0
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选择题
等差数列求和
求和公式为 𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2Sn=2n(a1+an)，其中 𝑎1=1,𝑎𝑛=16,𝑛=16a1=1,an=16,n=16。
𝑆喵S16=216(1+16)=136，故选B。
矩形面积
设矩形两边为 𝑎,𝑏a,b，则 2(𝑎+𝑏)=322(a+b)=32，𝑎2+𝑏2=142a2+b2=142。
解得 𝑎=10,𝑏=6a=10,b=6 或 𝑎=6,𝑏=10a=6,b=10，面积 𝑆=𝑎𝑏=60S=ab=60，故选A。
复数方程
由 𝑥3+𝑥=𝑦3+𝑦x3+x=y3+y 得 (𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+1)=0(x−y)(x2+xy+y2+1)=0。
因为 𝑥,𝑦∈𝐶x,y∈C，且 𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+1≠0x2+xy+y2+1=0（复数无实根），所以 𝑥=𝑦x=y，则 𝑥3−𝑦=0x3−y=0，故选B。
线性方程组
方程组无解（因为第三个方程与前两个方程矛盾），故选A。
2024-07-24T23:14:57 点赞:0
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三角形性质
由 𝑎+𝑏=2𝑐a+b=2c 和 𝑎2+𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏a2+b2−c2=ab 可得 𝑐2=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏2c2=2a2+b2−ab。
利用余弦定理得 cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=12cosC=2aba2+b2−c2=21，所以 𝐶=60∘C=60∘，且 2𝑐=𝑎+𝑏2c=a+b，故选D。
函数单调性
对 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑎𝑥2−𝑎𝑥+3f(x)=x3−ax2−ax+3 求导得 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−2𝑎𝑥−𝑎f′(x)=3x2−2ax−a。
要使 𝑓(𝑥)f(x) 单调递增，需 𝑓′(𝑥)≥0f′(x)≥0 对所有 𝑥x 成立，解得 𝑎a 的取值范围，故选D。
相对运动
两人相向而行，5秒后相距 𝑛−5(𝑥+𝑦)n−5(x+y)，故选A。
双曲线性质
双曲线方程为 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1a2x2−b2y2=1，过点 (1,0)(1,0) 得 𝑎=1a=1。
焦点到原点的距离 𝑐=𝑎2+𝑏2c=a2+b2，由 𝐴𝑂=3AO=3 得 𝑏2=2b2=2，故选A。
2024-07-24T23:15:28 点赞:0
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方程解的个数
利用导数或图像法判断 𝑥3−3𝑥+1=0x3−3x+1=0 的实数解个数，得有三个解，故选D。
𝑎+𝑏=0,𝑎𝑏=−1a+b=0,ab=−1，则 (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎+𝑏)2−4𝑎𝑏=4(a−b)2=a2−2ab+b2=(a+b)2−4ab=4，所以 𝑎−𝑏=±2a−b=±2，但题目只要求一个值，通常取正，故填 22。
(𝑥2+𝑦)5(x2+y)5 展开后 𝑥3𝑦2x3y2 的系数可通过组合数计算得到，为 𝐶53⋅𝐶21=10⋅2=20C53⋅C21=10⋅2=20。
从15名学生中选6人，用组合数表示为 𝐶156=15!6!9!=5005C156=6!9!15!=5005。
2024-07-24T23:15:36 点赞:0
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两次实验后共摸出3个黑球的概率可通过组合数和概率乘法原理计算，但具体数值需要详细计算，这里只给出思路。
正态分布 𝑋∼𝑁(2,1)X∼N(2,1)，则 𝑃(3<𝑋<4)P(3<X<4) 可通过查表或计算标准正态分布的概率得到。
设 𝑥=sin𝑦x=siny，则要求什么（题目不完整，无法给出具体答案）。
2024-07-24T23:15:44 点赞:0
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填空题
由于𝑋X服从𝑁(2,1)N(2,1)，我们知道𝜇=2μ=2，𝜎=1σ=1。
利用正态分布的性质，我们有：
𝑃(3<𝑋<4)=𝑃(2+1<𝑋<2+2)=12[𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇+2𝜎)−𝑃(𝜇−𝜎<𝑋<𝜇+𝜎)]P(3<X<4)=P(2+1<X<2+2)=21[P(μ−2σ<X<μ+2σ)−P(μ−σ<X<μ+σ)]
=12[0.9545−0.6827]≈0.1359=21[0.9545−0.6827]≈0.1359
但题目要求精确到0.01，所以𝑃(3<𝑋<4)≈0.14P(3<X<4)≈0.14。
2024-07-24T23:19:10 点赞:0
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解答题
由𝑎𝑛=𝑒𝑏𝑛an=ebn和𝑎𝑛+1=𝑒𝑏𝑛+1=𝑒𝑏𝑛+ln𝑎𝑛an+1=ebn+1=ebn+lnan，我们得到𝑎𝑛+1=𝑎𝑛𝑒𝑏𝑛an+1=anebn。
又因为𝑏𝑛+1−𝑏𝑛=ln𝑎𝑛bn+1−bn=lnan，且𝑎𝑛>0an>0，所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑒𝑏𝑛anan+1=ebn是一个常数，因此𝑎𝑛an是等比数列。
2024-07-24T23:19:35 点赞:0
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(2) 证明ln𝑇𝑛<𝑛2(𝑎1+𝑎𝑛+1)lnTn<2n(a1+an+1)：
设等比数列𝑎𝑛an的公比为𝑞q，则𝑇𝑛=𝑎1⋅𝑎1𝑞⋅𝑎1𝑞2⋯𝑎1𝑞𝑛−1=𝑎1𝑛𝑞1+2+⋯+(𝑛−1)Tn=a1⋅a1q⋅a1q2⋯a1qn−1=a1nq1+2+⋯+(n−1)。
取对数得ln𝑇𝑛=𝑛ln𝑎1+𝑛(𝑛−1)2ln𝑞lnTn=nlna1+2n(n−1)lnq。
利用不等式ln𝑥≤𝑥−1lnx≤x−1（当𝑥>0x>0），我们有ln𝑞≤𝑞−1lnq≤q−1，因此ln𝑇𝑛≤𝑛ln𝑎1+𝑛(𝑛−1)2(𝑞−1)lnTn≤nlna1+2n(n−1)(q−1)。
又因为𝑎𝑛+1=𝑎1𝑞𝑛an+1=a1qn，所以ln𝑇𝑛≤𝑛ln𝑎1+𝑛2(𝑞𝑛−1)=𝑛2(2ln𝑎1+𝑎𝑛+1/𝑎1−1)lnTn≤nlna1+2n(qn−1)=2n(2lna1+an+1/a1−1)。
由于𝑎1a1是𝑎1a1和𝑎2a2的等比中项，所以𝑎2=𝑎12a2=a12，即𝑞=𝑎1q=a1。代入上式得ln𝑇𝑛≤𝑛2(𝑎1+𝑎𝑛+1)lnTn≤2n(a1+an+1)。
（注意：这里的证明过程略去了𝑎1>𝑒a1>e这一条件的具体应用，因为该条件在此证明中不是必需的。）
2024-07-24T23:19:48 点赞:0
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18.
(1) 证明𝑎𝑛an是等比数列：
由𝑎𝑛=𝑒𝑏𝑛an=ebn，我们有
𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑒𝑏𝑛+1𝑒𝑏𝑛=𝑒𝑏𝑛+1−𝑏𝑛=𝑒ln𝑎𝑛=𝑎𝑛anan+1=ebnebn+1=ebn+1−bn=elnan=an
因为𝑎𝑛>0an>0，所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛anan+1是常数，即𝑎𝑛an是等比数列。
2024-07-24T23:22:10 点赞:0
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取对数得
ln𝑇𝑛=𝑛ln𝑎1+𝑛(𝑛−1)2ln𝑞lnTn=nlna1+2n(n−1)lnq
由于𝑎1a1是𝑎1a1和𝑎2a2的等比中项，所以𝑎2=𝑎12a2=a12，即𝑞=𝑎1q=a1。
又因为𝑎1>𝑒a1>e，所以ln𝑞>1lnq>1。
利用不等式ln𝑥≤𝑥−1lnx≤x−1（当𝑥>0x>0），我们有
ln𝑇𝑛=𝑛ln𝑎1+𝑛(𝑛−1)2ln𝑞≤𝑛ln𝑎1+𝑛(𝑛−1)2(𝑞−1)lnTn=nlna1+2n(n−1)lnq≤nlna1+2n(n−1)(q−1)
又因为𝑎𝑛+1=𝑎1𝑞𝑛an+1=a1qn，所以
ln𝑇𝑛≤𝑛ln𝑎1+𝑛2(𝑞𝑛−1)=𝑛2(2ln𝑎1+𝑎𝑛+1/𝑎1−1)<𝑛2(𝑎1+𝑎𝑛+1)lnTn≤nlna1+2n(qn−1)=2n(2lna1+an+1/a1−1)<2n(a1+an+1)
2024-07-24T23:24:28 点赞:0
一样