猫史档案馆

|宸宸|

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张某某玩家

前面还好，中部头皮发麻，后面大脑裂开

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SummerTime

我c p u都烧了

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「Origin、拾柒」

Rainbow工作室数学竞赛命钪址题人:冒充者小红满分:150分选择题(每题4分，共40分)1.求1+2+3+…+16的值()A.126B.136C146D.1562.矩形ABCD的对角线长为14，周长为32，则该矩形的面积为()A.30B.4560D.753.已知x,y∈C满足x3+x=y3+y,则x3-y的值为()B.0C-1D无法确定A14:方程组2x+3y=2024,5x-2y=1000,41x-5y=13072的实数解的个(组)数为()C.2D.无穷A.05.记AABC的三个内角角度为A,B,C，它们的对边分别为a,b,c,日a+b=2c,a2+b2-c2=ab,则下列说法正确的是()A.sinA+sinB=V3B.C=30°C.cosA-1D.2c是a和b的等差中项6.定义f(x)=x3-ax?-ax+3(如f(1)=1-a-a+3=-2a+4),其中a是常数，若对于任意y<z，均有f(y)<f(z),求a的取值范围()D.-2sa≤1.Aa<-3或a≥0B-3xas0cas-2或a>17.甲乙,两人相向而行，各自匀速运动，两人起初相距n个单位，甲的速度为每秒x个单位乙的速度为每秒y个单位，下列说法正确的是()A.5秒后，两人相距n-5x-5y个单位B.两人相遇需要”-秒C.若n=x=y=1,则甲乙相遇需1秒D.设x>n>y>2024,则除了开始时刻之外，甲乙再次相距n个单位需要的时间小于2秒8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C--%-1(ab>0过点(1,0)其左、右焦点为EF,过F作x轴垂线交C丁A,B两点，AO-V3，则b2=0)C1D.3B.2A.19.方程x3-3x+1=0的实数解的个数为()C2D.3A.03.1NNA=C-1若B的行列式不为0，则AB10.A,B,C都是三阶方阵，B2=B，C=的行列式为()A7(-2)B(-1)C了(0)D.了(-3)、填空题(每题5分，共35分)11.若a+b=0日ab=-1则a-b=12.(x²+y)5展开后项x'y’的系数为13.从15名学生中选出6人参加活动(不考虑顺序)一共有种选法14.袋中有10个除颜色外完全相同的小球，有7个白色球，3个黑色球，若将连续不放回地摸4次称为“一次实验”，每次实验后将摸出的小球放回袋中，则两次实验后共摸出3个黑球的概率为15.随机变量X服从正态分布(2,1)，则P(3<X<4)=(精确到0.01)16.设x=siny,求些17.以点W为圆心的圆W半径为2，直线|1交W于A,B两点，AB=2V3，过A作I1垂线交W于另外一点P，过P作W的切线12与I1交于C点，过C作直线I3交于D，E两点了内人-T1/Y52三、解答题(共75分Dnbn-1an:4n-118.(9分)已知数列{a-},{bm},其中an=ebn,n>2时=e日数列{an}递增bn-1-Dn72(1)证明:{an}是等比数列(2)记Tn是数列{an}的前n项积，若a1是a和az的等比中项，且a1>e，求证In<Ven(a*n+1--)19.(9分)记三角形三个内角分别为A,B,C，其对边分别为a,b,c，日(tanA-1)(tanB-1)=2,sinCsinB=cosAAB,C≠.(1)求sinA(2)设c=10,求BC边上的高20.(10分)记f区)=xx《>0),(如f(2)=4,f(3)=27)(1)讨论f区)的单调性(2)对于任意x,均有f(x)>kx，(k是常数)求k的最大值21.(10分)甲乙两人进行投篮，第一次投篮的人由抽签决定，抽到每个人的概率均为0.5。每次投篮，无论谁投篮，若投进则下一次投篮者不变，，若没投进则下一次由对方投篮，已知甲投进的概率是0.6，乙投进的概率是0.8。(1)求第3次是甲投篮的概率(2)求第n(n为正整数)次是甲投篮的概率22.(11分)设f(x)=x3-3x+nx+r(1)求该三次曲线的对称中心横坐标(2)将三次曲线横向平移，使得其对称中心横坐标为0，设平移后的三次曲线为f&)=x3+px+9，求p,9(用含有n,r的代数式表示)，并根据p,q的情况讨论该函数零点个数(3)在(2)的基础上利田完金文方公式讨论亚移后的三次曲线在，人上明零点的值(用含有p,q的代数式表示)23.(12分)反证法是证明数的性质的常用方法，即假设命题不成立，再推得矛盾(1)求证:√2是无理数(2)设neN+日n不是完全平方数，求证:√n是无理数(3)求证:e是无理数24.(14分)微积分是数学当中的重要思想(1)解微分方程:≌=cy+s(其中c,s是常数(2)微分方程常和积分有着重大的联系。记(x)=cos"x(n为正整数目n>1),求证:∫f(x)dx=-sinxfn-1(x)+∫fn-2«)@x(3)求/1V1+√1-x3+V1-V1-x3dx参考数据:e是自然对数的底，e-1+-+-+a+若随机变量X服从正态分布(u,o2则P(μ-o<X<u+o)~0.6827P(u-2o<X<u+20)~0.9545 嗯……

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「Origin、拾柒」

选择题

1. 等差数列求和
   求和公式为 𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2Sn​=2n(a1​+an​)​，其中 𝑎1=1,𝑎𝑛=16,𝑛=16a1​=1,an​=16,n=16。
   𝑆喵S16​=216(1+16)​=136，故选B。

2. 矩形面积
   设矩形两边为 𝑎,𝑏a,b，则 2(𝑎+𝑏)=322(a+b)=32，𝑎2+𝑏2=142a2+b2=142。
   解得 𝑎=10,𝑏=6a=10,b=6 或 𝑎=6,𝑏=10a=6,b=10，面积 𝑆=𝑎𝑏=60S=ab=60，故选A。

3. 复数方程
   由 𝑥3+𝑥=𝑦3+𝑦x3+x=y3+y 得 (𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+1)=0(x−y)(x2+xy+y2+1)=0。
   因为 𝑥,𝑦∈𝐶x,y∈C，且 𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2+1≠0x2+xy+y2+1=0（复数无实根），所以 𝑥=𝑦x=y，则 𝑥3−𝑦=0x3−y=0，故选B。

4. 线性方程组
   方程组无解（因为第三个方程与前两个方程矛盾），故选A。

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「Origin、拾柒」

1. 三角形性质
   由 𝑎+𝑏=2𝑐a+b=2c 和 𝑎2+𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏a2+b2−c2=ab 可得 𝑐2=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏2c2=2a2+b2−ab​。
   利用余弦定理得 cos⁡𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=12cosC=2aba2+b2−c2​=21​，所以 𝐶=60∘C=60∘，且 2𝑐=𝑎+𝑏2c=a+b，故选D。

2. 函数单调性
   对 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑎𝑥2−𝑎𝑥+3f(x)=x3−ax2−ax+3 求导得 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−2𝑎𝑥−𝑎f′(x)=3x2−2ax−a。
   要使 𝑓(𝑥)f(x) 单调递增，需 𝑓′(𝑥)≥0f′(x)≥0 对所有 𝑥x 成立，解得 𝑎a 的取值范围，故选D。

3. 相对运动
   两人相向而行，5秒后相距 𝑛−5(𝑥+𝑦)n−5(x+y)，故选A。

4. 双曲线性质
   双曲线方程为 𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1a2x2​−b2y2​=1，过点 (1,0)(1,0) 得 𝑎=1a=1。
   焦点到原点的距离 𝑐=𝑎2+𝑏2c=a2+b2​，由 𝐴𝑂=3AO=3​ 得 𝑏2=2b2=2，故选A。

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「Origin、拾柒」

1. 方程解的个数
   利用导数或图像法判断 𝑥3−3𝑥+1=0x3−3x+1=0 的实数解个数，得有三个解，故选D。

1. 𝑎+𝑏=0,𝑎𝑏=−1a+b=0,ab=−1，则 (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎+𝑏)2−4𝑎𝑏=4(a−b)2=a2−2ab+b2=(a+b)2−4ab=4，所以 𝑎−𝑏=±2a−b=±2，但题目只要求一个值，通常取正，故填 22。

2. (𝑥2+𝑦)5(x2+y)5 展开后 𝑥3𝑦2x3y2 的系数可通过组合数计算得到，为 𝐶53⋅𝐶21=10⋅2=20C53​⋅C21​=10⋅2=20。

3. 从15名学生中选6人，用组合数表示为 𝐶156=15!6!9!=5005C156​=6!9!15!​=5005。

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「Origin、拾柒」

1. 两次实验后共摸出3个黑球的概率可通过组合数和概率乘法原理计算，但具体数值需要详细计算，这里只给出思路。

2. 正态分布 𝑋∼𝑁(2,1)X∼N(2,1)，则 𝑃(3<𝑋<4)P(3<X<4) 可通过查表或计算标准正态分布的概率得到。

3. 设 𝑥=sin⁡𝑦x=siny，则要求什么（题目不完整，无法给出具体答案）。

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「Origin、拾柒」

填空题

1. 随机变量𝑋X服从正态分布(2,1)(2,1)，则𝑃(3<𝑋<4)P(3<X<4)的求解过程如下：

由于𝑋X服从𝑁(2,1)N(2,1)，我们知道𝜇=2μ=2，𝜎=1σ=1。

利用正态分布的性质，我们有：

𝑃(3<𝑋<4)=𝑃(2+1<𝑋<2+2)=12[𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇+2𝜎)−𝑃(𝜇−𝜎<𝑋<𝜇+𝜎)]P(3<X<4)=P(2+1<X<2+2)=21​[P(μ−2σ<X<μ+2σ)−P(μ−σ<X<μ+σ)]

=12[0.9545−0.6827]≈0.1359=21​[0.9545−0.6827]≈0.1359

但题目要求精确到0.01，所以𝑃(3<𝑋<4)≈0.14P(3<X<4)≈0.14。

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「Origin、拾柒」

解答题

1. (1) 证明𝑎𝑛an​是等比数列：

由𝑎𝑛=𝑒𝑏𝑛an​=ebn​和𝑎𝑛+1=𝑒𝑏𝑛+1=𝑒𝑏𝑛+ln⁡𝑎𝑛an+1​=ebn+1​=ebn​+lnan​，我们得到𝑎𝑛+1=𝑎𝑛𝑒𝑏𝑛an+1​=an​ebn​。

又因为𝑏𝑛+1−𝑏𝑛=ln⁡𝑎𝑛bn+1​−bn​=lnan​，且𝑎𝑛>0an​>0，所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑒𝑏𝑛an​an+1​​=ebn​是一个常数，因此𝑎𝑛an​是等比数列。

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「Origin、拾柒」

(2) 证明ln⁡𝑇𝑛<𝑛2(𝑎1+𝑎𝑛+1)lnTn​<2n​(a1​+an+1​)：

设等比数列𝑎𝑛an​的公比为𝑞q，则𝑇𝑛=𝑎1⋅𝑎1𝑞⋅𝑎1𝑞2⋯𝑎1𝑞𝑛−1=𝑎1𝑛𝑞1+2+⋯+(𝑛−1)Tn​=a1​⋅a1​q⋅a1​q2⋯a1​qn−1=a1n​q1+2+⋯+(n−1)。

取对数得ln⁡𝑇𝑛=𝑛ln⁡𝑎1+𝑛(𝑛−1)2ln⁡𝑞lnTn​=nlna1​+2n(n−1)​lnq。

利用不等式ln⁡𝑥≤𝑥−1lnx≤x−1（当𝑥>0x>0），我们有ln⁡𝑞≤𝑞−1lnq≤q−1，因此ln⁡𝑇𝑛≤𝑛ln⁡𝑎1+𝑛(𝑛−1)2(𝑞−1)lnTn​≤nlna1​+2n(n−1)​(q−1)。

又因为𝑎𝑛+1=𝑎1𝑞𝑛an+1​=a1​qn，所以ln⁡𝑇𝑛≤𝑛ln⁡𝑎1+𝑛2(𝑞𝑛−1)=𝑛2(2ln⁡𝑎1+𝑎𝑛+1/𝑎1−1)lnTn​≤nlna1​+2n​(qn−1)=2n​(2lna1​+an+1​/a1​−1)。

由于𝑎1a1​是𝑎1a1​和𝑎2a2​的等比中项，所以𝑎2=𝑎12a2​=a12​，即𝑞=𝑎1q=a1​。代入上式得ln⁡𝑇𝑛≤𝑛2(𝑎1+𝑎𝑛+1)lnTn​≤2n​(a1​+an+1​)。

（注意：这里的证明过程略去了𝑎1>𝑒a1​>e这一条件的具体应用，因为该条件在此证明中不是必需的。）

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「Origin、拾柒」

18.

(1) 证明𝑎𝑛an​是等比数列：

由𝑎𝑛=𝑒𝑏𝑛an​=ebn​，我们有

𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑒𝑏𝑛+1𝑒𝑏𝑛=𝑒𝑏𝑛+1−𝑏𝑛=𝑒ln⁡𝑎𝑛=𝑎𝑛an​an+1​​=ebn​ebn+1​​=ebn+1​−bn​=elnan​=an​

因为𝑎𝑛>0an​>0，所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛an​an+1​​是常数，即𝑎𝑛an​是等比数列。

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oWuGi7s6_

（5年级表示看不懂（）（）（）（））

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「Origin、拾柒」

​取对数得

ln⁡𝑇𝑛=𝑛ln⁡𝑎1+𝑛(𝑛−1)2ln⁡𝑞lnTn​=nlna1​+2n(n−1)​lnq

由于𝑎1a1​是𝑎1a1​和𝑎2a2​的等比中项，所以𝑎2=𝑎12a2​=a12​，即𝑞=𝑎1q=a1​。

又因为𝑎1>𝑒a1​>e，所以ln⁡𝑞>1lnq>1。

利用不等式ln⁡𝑥≤𝑥−1lnx≤x−1（当𝑥>0x>0），我们有

ln⁡𝑇𝑛=𝑛ln⁡𝑎1+𝑛(𝑛−1)2ln⁡𝑞≤𝑛ln⁡𝑎1+𝑛(𝑛−1)2(𝑞−1)lnTn​=nlna1​+2n(n−1)​lnq≤nlna1​+2n(n−1)​(q−1)

又因为𝑎𝑛+1=𝑎1𝑞𝑛an+1​=a1​qn，所以

ln⁡𝑇𝑛≤𝑛ln⁡𝑎1+𝑛2(𝑞𝑛−1)=𝑛2(2ln⁡𝑎1+𝑎𝑛+1/𝑎1−1)<𝑛2(𝑎1+𝑎𝑛+1)lnTn​≤nlna1​+2n​(qn−1)=2n​(2lna1​+an+1​/a1​−1)<2n​(a1​+an+1​)

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「Origin、拾柒」

19.
(1) 求sin⁡𝐴sinA：

由(tan⁡𝐴−1)(tan⁡𝐵−1)=2(tanA−1)(tanB−1)=2和sin⁡𝐶sin⁡𝐵=cos⁡𝐴sinCsinB=cosA，我们有

tan⁡𝐴=sin⁡𝐴cos⁡𝐴,tan⁡𝐵=sin⁡𝐵cos⁡𝐵tanA=cosAsinA​,tanB=cosBsinB​

代入得

(sin⁡𝐴cos⁡𝐴−1)(sin⁡𝐵cos⁡𝐵−1)=2(cosAsinA​−1)(cosBsinB​−1)=2

又因为sin⁡𝐶sin⁡𝐵=cos⁡𝐴sinCsinB=cosA，结合sin⁡2𝐴+cos⁡2𝐴=1sin2A+cos2A=1，可以解出sin⁡𝐴sinA。

(2) 设𝑐=10c=10，求BC边上的高：

利用正弦定理和三角形面积公式，可以求出BC边上的高。

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「Origin、拾柒」

20.
(1) 讨论𝑓𝑥()=𝑥𝑥fx()=xx的单调性：

求导得(x)$

$$的单调性
f。'(x) = x^x (\ln x + 1)
$$

分析𝑓′(𝑥)f′(x)的符号，讨论$f

(2) 对于任意𝑥x，均有𝑓(𝑥)>𝑘𝑥f(x)>kx，求𝑘k的最大值：

转化为求𝑓(𝑥)𝑥xf(x)​的最小值，即求𝑔(𝑥)=𝑥𝑥−1g(x)=xx−1的最小值。

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「Origin、拾柒」

21. 投篮问题 (1) 第3次是甲投篮的概率

• 初始状态：甲或乙投篮的概率均为0.5。
• 第一次投篮后：
  • 若甲投进（概率0.6），则第二次、第三次均为甲投篮。
  • 若甲没投进（概率0.4），则第二次为乙投篮。
    • 若乙投进（概率0.8），则第三次为甲投篮。
    • 若乙没投进（概率0.2），则第三次仍为乙投篮。

因此，第3次是甲投篮的概率为：
𝑃=0.5×0.6+0.5×0.4×0.8=0.58P=0.5×0.6+0.5×0.4×0.8=0.58

• 假设第n-1次是甲投篮，则第n次是甲投篮的概率为0.6（因为甲投进的概率是0.6）。
• 假设第n-1次是乙投篮，则第n次是甲投篮的概率为0.4（因为乙没投进的概率是0.2，然后下一次轮到甲投篮）。

但我们需要考虑第n-1次是甲投篮或乙投篮的概率。这实际上是一个递归问题，但考虑到每次投篮的独立性，我们可以发现：

• 如果n是奇数，那么第n次是甲投篮的概率与第1次是甲投篮的概率相同，即0.5。
• 如果n是偶数，那么第n次是甲投篮的概率与第2次是甲投篮的概率相同，即0.5×0.4×0.8=0.160.5×0.4×0.8=0.16。

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「Origin、拾柒」

22. (1) 求对称中心横坐标

• 对于三次函数 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥+𝑛𝑥+𝑟f(x)=x3−3x+nx+r，其对称中心横坐标 𝑥0x0​ 满足 𝑓′(𝑥0)=0f′(x0​)=0。
• 求导得 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3+𝑛f′(x)=3x2−3+n。
• 令 𝑓′(𝑥0)=0f′(x0​)=0，解得 𝑥0=±3−𝑛3x0​=±33−n​​（当 𝑛≠3n=3 时）。

• 平移后的函数为 𝑓∗(𝑥)=𝑥3+𝑝𝑥+𝑞f∗(x)=x3+px+q，其中 𝑝=𝑛−33−𝑛32p=n−333−n​​2，𝑞=𝑟+33−𝑛33q=r+333−n​​3（取 𝑥0=3−𝑛3x0​=33−n​​ 为例）。
• 零点个数取决于判别式 Δ=−274𝑞2+𝑝327Δ=−427​q2+27p3​。
  • 当 Δ>0Δ>0 时，有三个不同的零点。
  • 当 Δ=0Δ=0 时，有三个相同的零点（重根）。
  • 当 Δ<0Δ<0 时，没有实数零点。

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「Origin、拾柒」

22. (1) 求该三次曲线的对称中心横坐标

• 首先求 𝑓(𝑥)f(x) 的导数：
  𝑓′(𝑥)=3𝑥2−3+𝑛f′(x)=3x2−3+n
• 令 𝑓′(𝑥)=0f′(x)=0 以求对称中心横坐标：
  3𝑥2−3+𝑛=03x2−3+n=0
  𝑥2=3−𝑛3x2=33−n​
  𝑥=±3−𝑛3x=±33−n​​
  （注意：这里假设 𝑛<3n<3 以保证 𝑥x 为实数）

• 假设将 𝑓(𝑥)f(x) 向右平移 𝑎a 个单位，则平移后的函数为：
  𝑓(𝑥−𝑎)=(𝑥−𝑎)3−3(𝑥−𝑎)+𝑛(𝑥−𝑎)+𝑟f(x−a)=(x−a)3−3(x−a)+n(x−a)+r
• 令 𝑥−𝑎=0x−a=0 即 𝑥=𝑎x=a 为对称中心，则 𝑎=3−𝑛3a=33−n​​（取正值）。
• 代入得：
  𝑓(𝑥−3−𝑛3)=𝑥3−33−𝑛3𝑥2+(33−𝑛32−3+𝑛)𝑥−3−𝑛33+𝑟f(x−33−n​​)=x3−333−n​​x2+(333−n​​2−3+n)x−33−n​​3+r
• 对比 𝑓∗(𝑥)=𝑥3+𝑝𝑥+𝑞f∗(x)=x3+px+q，得：
  𝑝=33−𝑛32−3+𝑛=𝑛−3(3−𝑛3)=𝑛−(3−𝑛)=2𝑛−3p=333−n​​2−3+n=n−3(33−n​)=n−(3−n)=2n−3
  𝑞=𝑟−3−𝑛33=𝑟−(3−𝑛3)32q=r−33−n​​3=r−(33−n​)23​
• 零点个数取决于判别式 Δ=−274𝑞2+𝑝327Δ=−427​q2+27p3​。
  • 当 Δ>0Δ>0 时，有三个不同的零点。
  • 当 Δ=0Δ=0 时，有三个相同的零点（重根）。
  • 当 Δ<0Δ<0 时，没有实数零点。

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山岚微暖

这个图片是wps？

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橘生淮北则为枳

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飞熊jsrt

2目前只想到方程
3硬推能搞出一个ab=（a+b）^2，得答案可能要搞个四元方程，然后可能可以用它俩描述一个圆的俩半径之类的我不清楚
4a
5三边关系都有了应该没啥难度

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aOrangesoft

钓鱼题

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飞熊jsrt

21:大概是1/2的08^n

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飞熊jsrt

关于e是无理数，在取向无穷时如果e的泰勒展开的那个和可约分，那么在加下一项时e的分母乘了一个c而分子*c+1，因此上下互质但两者相等因而非有理数，若上下不可约分则是无穷大我不确定算不算有理数

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RightAboveChilam

问：

答：114514

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