猫史档案馆

问题：

给定一个点(x,y,z)，以及：

关于原点旋转的角度
x轴方向旋转：rx

y轴方向旋转：ry

z轴方向旋转：rz

x轴方向平移：Δx

y轴方向平移：Δy

z轴方向平移：Δz

求其在变换后在平面上的投影坐标。

 

过程

首先画出坐标系。

我们一般将x轴，y轴与屏幕上的x，y轴对应，而z轴与屏幕垂直，即“距离坐标”。

首先，我们可以很容易地将一个三维点投影为2维：

A(x,y,z) ——> A'(x,y)

但我们不仅需要将这个点投影到屏幕上，还需要施加缩放，即“近大远小”的空间透视。

假如我们令c=1为正常视距，那么对于c<1的情况，就需进行缩小，对于c>1的情况，需要放大。

即：

A'(xz,yz)

这样的图虽然是可以体现透视，但如果我们设定一个坐标点（1,1,1）：

它的投影就是（1,1），在屏幕上会特别靠近原点。

因此，我们需要加上缩放因子。

设定因子为scale，那么：

A1(xz*scale,yz*scale)

缩放因子通常定为100，此时点的投影就能适中显示。

之后，我们开始讨论旋转，平移。

旋转与平移会有顺序上的问题，如下：

我们规定，先进行旋转，后进行平移。

那么，我们来看看旋转。

1.z轴方向上的旋转

对于我们而言，z轴旋转就是在屏幕上顺时针或逆时针旋转：z轴垂直屏幕，我们绕着它旋转就是平行于屏幕旋转。

那么，我们只需要求出A'（即A在屏幕上投影）的旋转后坐标即可。

我们首先需要求得A'关于屏幕原点的绝对角度，如下：

如下图，推导：

那么我们便能推导出z轴旋转后的角度：

再反过来，推出旋转后的坐标：

代码效果：

#include <iostream>
#include <cmath>
int main(){
    double x,y;
    double theta = asin(y/sqrt(x*x+y*y)) + rz;
    theta-=(int(theta)/360)*360;
    double x2 = cos(theta)*sqrt(x*x+y*y),
           y2 = sin(theta)*sqrt(x*x+y*y);
}

对于三维坐标点，就是如下的变换：

其余的x，y轴都基本一致，我们放出所有变换综合的效果：

最终写法：

由此，我们完成了旋转部分，接下来的平移就是小儿科了。

令x,y,z轴的偏移量为Δx,Δy,Δz，则最终版本如下：
我们完成了对一个三维坐标点的转换，接下来，投影点坐标如下：

投影点计算完毕，最终，我们只需要输入数据，并利用画笔将各个投影点连接起来，就可以完成立体图形的渲染。

3D面渲染的论文将在下周左右发布。

 

 

P.S.该技术将被应用于个人的Render2，Render3作品，基于Kitten4，开源且有丰富的渲染组件

简要介绍下，Render2与Render3并不是普通的迭代版本关系，而是并行开发的两个渲染工具，Render2注重平面图形的高效且精致渲染，Render3则主要负责立体图形渲染。