猫史档案馆

知山有虎虎山行，我幽白啊

别个老看我年龄大就问我三角函数怎么用，那我就直接把三角函数的概念和实际应用讲完，免得又有人觉得三角函数很高深。

三角函数本身的确是一个函数，但不用硬是用函数来理解。三角函数可以被理解为类似于加减乘除的符号，只不过加减乘除需要两个值参与计算，而三角函数只需要一个值来计算。

在了解三角函数前，我们需要了解直角三角形。顾名思义，有一个角是直角的三角形是直角三角形。如图。

在这里，三角形ABC中的∠C是直角，在直角三角形中，最长的、与直角相对的边称之为斜边。图中∠C的对边AB就是斜边。

（ps：∠C由AC、BC组成，这两条边被称为∠C的邻边，剩下的一条AB就是∠C的对边。）

此时，依据勾股定理，两条直角边长度的平方之和等于斜边的平方。即：

这个跟三角函数本身没啥关系，但这是学三角形的必修课。

接下来请看图：

可以看到，左边的三角形和右边的三角形的三个角都是相等的，大家可以自己验证。

已知三角形的内角和是180°，而∠C=90°，可知∠B+∠A=180°-90°=90°。也就是说，只要两个直角三角形内中，有两个不是直角的角相等，那么另一个不是直角的角也相等，也就是两个直角三角形三个角都相等。

数学家发现，在直角三角形内，一个角不变的情况下，三角形一个边除以另一个边的商总是不变的，无论三角形是大还是小。比如：在左边三角形里，若a÷c=x，那右边三角形里a÷c也会等于x。这是利用了三角形的相似性，不过不要求掌握。

在角度不同的直角三角形内，a÷c的值会不同，但在角度相同的三角形内，a÷c的值永远不变。此时三角函数出现了——给定一个角度，算出一条边除以另一条边的值。

先从正弦函数开始。正弦函数写作sin x°（ps：在数学里，°不可以省略；但在一部分编程场合里，°会被省略。至于为什么不能省略以后会说）。也可以写作：sin ∠A。图中，sin ∠A=a/c。有的时候三角形并不会标记边为小写字母，此时可以这样理解：sin一个角=角的对边÷斜边。多念叨几遍，这样就能很快记牢。同样的，根据公式，sin ∠B=对边÷斜边=b/c。记住，目前不要去计算sin 90°或sin ∠C。我们目前用不到它。

同样的道理，cos ∠A = 邻边÷斜边=b/c，tan ∠A = 对边÷邻边=a/c。

细心地小火罐们应该发现了，cos ∠A和sin ∠B的值是一样的！没错，这是三角函数中的一个定理。前面说过，∠A+∠B=90°，也就是说∠A=90°-∠B。我们可以得到一个永远成立的公式：sin ∠A=cos (90°-∠A)。

那三角函数究竟有什么用呢？在我们日常的编程中，时常要涉及到角度。三角函数可以在一个直角三角形中，用一个角度（不是90°！）和任意一条边的长度来求出三角形所有边的长度。

举个栗子，如果我知道一根指针的长度以及这根指针要旋转的度数，我怎么确认指针末尾的坐标？

看图。

OA就是题中给的指针，已知∠AOB=30°，OA=5，求A点的坐标。

这个AB是我自己加的，AB与OB垂直，此时出现了直角三角形，可以使用三角函数。

已知sin ∠AOB=对边÷斜边=AB/OA=AB÷5。根据三角函数的运算，sin 30°=1/2。（ps：三角函数的运算结果大多数是无理数，没有规律，数学家们有一套自己的办法，我们碰到三角函数只需要摁计算器就行。）也就是：AB÷5=1/2，即AB=5/2=2.5。而AB的长度正是A点的y坐标。

已知cos ∠AOB=邻边÷斜边=OB/OA=OB/5。根据三角函数的计算，cos 30°=(√3)/2。也就是：OB/5=(√3)/2。即OB=(5√3)/2≈4.33。OB的长度正是A点的x坐标。也就是说A点的坐标为（4.33,2.5）。自此解决问题。

下面给出一些特殊角下特殊的三角函数值，要求全表背诵。其余的角度下，交给计算器吧。

更多时候，我们想要通过长度得到角。例如：

还是这张图，已知点A的坐标为（4,3），问∠AOB的度数是多少。

这个时候我们所学的三角函数用不了了。我们只知道用角度求商，不知道怎么用商求角度啊！

这时候要请出三角函数的喵对头：反三角函数。反三角函数是三角函数的逆运算，可以用一个边除以另一个边的商，得到一个角度。写作arcsin，arccos，arctan。也有下面的写法，是一个意思：例如，arcsin 1/2=30°。（下图显示asin是kitten将arcsin简写了。现实中学习数学一定要用正确的形式。）

这样，再来回顾原来的问题：

已知点A的坐标为（4,3），问∠AOB的度数是多少。

tan ∠AOB=AB/OB=3/4，所以∠AOB=arctan 3/4≈36.87°。

 

还有问题可以下面问我。我好想讲的确实比较枯燥难懂，但我尽力了：）没有动画很难展示的