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要证明存在无限个十进制质数转换为二进制后，在十进制表示下仍然是质数，可以使用反证法来进行证明。以下是证明的步骤：

假设只存在有限个十进制质数，记为 p₁, p₂, p₃, ..., pₙ。现在我们要找出一个新的质数 q，使得 q 在十进制表示下是一个质数，并且在二进制表示下也是质数。

我们可以将 q 表示为 q = 2ⁿ + 1，其中 n 是一个正整数。这样，q 在二进制表示下的最高位是 1，其余各位都是 0。我们可以通过判断 q-1 是否能被 2, 3, 5, ..., pₙ 整除，来验证 q 是否为质数。如果 q-1 不能被任何一个已知的质数整除，即都存在于 p₁, p₂, p₃, ..., pₙ 之外，那么 q 是一个新的质数。

接下来，我们将 q 转换为十进制表示：q₁₀ = 2ⁿ + 1。我们需要验证 q₁₀ 是否也是一个质数。

假设 q₁₀ 不是一个质数，即存在一个质因数 d₁，满足 1 < d₁ < q₁₀。根据 q 的定义，我们知道 2ⁿ ≡ -1 (mod q₁₀)，即 2ⁿ + 1 ≡ 0 (mod q₁₀)。由此可以得到 2ⁿ ≡ -1 ≡ q₁₀ - 1 (mod q₁₀)。

因此，我们可以推导出以下等式：(2ⁿ)² ≡ (q₁₀ - 1)² (mod q₁₀)。展开后得到 2²ⁿ ≡ q₁₀² - 2q₁₀ + 1 ≡ 1 (mod q₁₀)。

由于 n 是正整数，所以 2²ⁿ - 1 ≥ 2 - 1 = 1。综上所述，我们可以得到结论：2²ⁿ ≡ 1 (mod q₁₀)，且 2²ⁿ - 1 ≥ 1。

这意味着 q₁₀ 是一个满足费马小定理的数，即如果 p 是一个质数，并且 a 是与 p 互质的整数，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。但是根据费马小定理，除非 n 是 1 的倍数，否则 2ⁿ 不可能满足条件。因此，我们可以断定 q₁₀ 是一个质数。

综上所述，我们通过构造新的质数 q 和对其进行分析，证明了存在无限个十进制质数转换为二进制后，在十进制表示下仍然是质数的情况。

——源自 chatgpt ,由于chatgpt在数学方面一言难尽，所以还需要你来看一下

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橘生淮北则为枳

先去看看怎么转换进制吧

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