Xiany查看:19 回复:22 评论:19 创建时间:2023-02-25T12:12:29用户:Xiany查看:19 回复:22 评论:19 创建时间:2023-02-25T12:12:29
求证：1+1=2
好难啊！！！怎么做？！
array_已退在许多人看来，1+1=2，这是常识，不需要证明。
一个苹果和另一个放在一起，那就是两个苹果。一个人和另一个人放在一起，那就是两个人。
虽然一滴水和另一滴放在一起，会变成一滴水，而不是两滴水，不过这也只是称呼的问题。我们只要说，一克水和另一克混合在一起，会变成两克水，这就可以了。
但是，数学家们并不满足于常识。他们依然想要构造出一个公理系统，来证明1+1=2。
关于自然数的加减乘除这四则运算，数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）建构的公理系统最为出名。接下来，就让我们来领略皮亚诺公理的魅力吧。
假装自己什么都不知道首先，我们需要假定自己不是地球人，而是外星人，而且是那种从来没有学过数学的外星人。
这一步有点困难，因为假扮一个外星人，强求我们假装自己不知道那些明明已经知道的东西，但我希望大家还是努努力。
如果你不假装自己什么都不知道，那你就不会知道公理系统有多重要。同时，你也很难体会到皮亚诺公理有多美。
皮亚诺的五条公理现在，假定我们已经什么都不知道了。现在再来看皮亚诺的那5条公理：
一：1是自然数。
二：任何自然数都有一个邻居，我们称之为这个自然数的后继数，它也是个自然数。
三：任何自然数的后继数都不是1。
四：任意挑选出两个自然数，就称呼其中一个为a，另一个为b。如果a的后继数和b的后继数刚好是同一个数。那么，a和b其实不是两个不同的自然数，而是同一个自然数。
五：假设自然数1有一个特点。而且，如果任意自然数n有这个特点，那么n的后继数也有这个特点。由前两句话就可以得出，所有自然数都有这个特点。
作为外星人，匆匆一瞥，我们肯定看不懂这五条公理究竟在说什么。所以，让我们来逐条欣赏它们的含义。
第一条公理第一条公理非常简单，它的意思就是说，1这个数啊，它算是自然数。或者说，假设自然数是一个俱乐部，那么1这个数就是这个俱乐部的成员。
注意，这条公理并没有说，1是不是这个自然数俱乐部的唯一成员。目前，关于自然数俱乐部，我们所知甚少。至少现在，我们只知道1是其中一员。
第二条公理现在，我们来看第二条公理。这条公理就更值得品味了。它说，任何自然数都有一个邻居，我们称之为这个自然数的后继数，它也是个自然数。我们可以猜想，自然数这个俱乐部的成员，其实都很怕寂寞。每个成员都要和邻居住在一起，而且那个邻居也是自然数。
如果把第一条公理和第二条公理结合在一起，我们会发现什么呢？
1是自然数的一员，1也很怕寂寞，所以1也有个邻居。1这个数的邻居，为了方便称呼，就叫做“1的后继数”。而且，“1的后继数”这位邻居，本身也是自然数俱乐部的成员，它也是个自然数。
现在，我们知道了，1在自然数俱乐部中并不是孤家寡人。这个俱乐部里头至少有两个成员，一个是1，另一个是“1的后继数”。
那么，现在让我们再来问一个问题。这个自然数俱乐部里，是不是只有两个成员呢？
当然不是。仔细看看第二条公理，它说的是任何自然数的后继数都是自然数。既然“1的后继数”也是自然数，那它也有个邻居，而且那个邻居也是后继数。
所以，现在我们知道了，自然数俱乐部里至少有三个成员：1，1的后继数，1的后继数的后继数。
运用同样的思路，不难发现，自然数俱乐部里其实有超多成员：1，1的后继数，1的后继数的后继数，1的后继数的后继数的后继数，1的后继数的后继数的后继数的后继数……
现在，我们已经知道了自然数俱乐部里，至少看起来有超多成员，虽然不知道具体有多少，但总之有很多就对了。
第三条公理这条公理看似有些多余，它说，任何自然数的后继数都不是1。
但是，仔细想想的话，这条公理一点都不多余。你们看，第一条公理和第二条公理里头，都没有规定任何自然数的后继数都不是1。你们想，如果没有这条规定，那么俱乐部有可能是什么样子？
可能性就非常多了。自然数俱乐部甚至可能只有1这一个成员，1的后继数其实也是1，1的后继数的后继数还是1，看起来有很多成员，其实都只是1穿的不同马甲罢了。
自然数俱乐部里也可能只有2个成员。比如，只有1和1的后继数。如果不做出第三条公理中的规定，那么1的后继数的后继数可能就是1。整个俱乐部里，就只有这两个数抱团取暖。比如，1的后继数的后继数的后继数，其实就是1的后继数。整个俱乐部的成员其实都是这两个成员穿的不同马甲。
同理，自然数俱乐部里，也可能是3个成员，4个成员或5个成员，还可能是23456个成员，可能是938457234个成员。但是，这不是皮亚诺想要的自然数俱乐部。所以才有了第三条公理。
现在，我们知道了，自然数俱乐部里不知看起来有多个成员，实际上也有多个成员，而且，数量貌似还不少。
第四条公理第四条公理说起来有点长。为了节约时间，让我们发明一些简便称呼。
我们可以把“诸葛孔明”直接称之为“亮”，这样可以节约读三个字的时间。所以，我们直接把1的后继数，写作1’。那么，1的后继数的后继数，就写作1’’。1的后继数的后继数的后继数，就是1’’’。这样做可以省下很多时间。
那么，这条公理也可以简单地说：如果a和b都是自然数，并且a’=b’，那么a=b。
大家想一想，皮亚诺为什么要搞这条公理呢？如果不搞这条公理，那么自然数俱乐部有可能是什么样子呢？
这样，我们假设每个自然数都特别阔气，它们单独都住一栋别墅。那么，皮亚诺心目中的自然数们的住宅，就是一排一直可以排列下去的超长联排别墅，一眼根本望不到头。
但是，现实生活中的联排别墅不一定是这种直线排列下去的。现实生活中的联排别墅也可以是一个圈。
当然，由于第三条公理的存在，所以自然数俱乐部的成员住的别墅，不可能是一个大圈。
但是，如果不规定这第四条公理，那联排别墅有可能还是会循环，不会一直排列下去。
所以要做出这样的规定。如果有两栋别墅的后继别墅是同一栋别墅，那么这两栋别墅其实是同一栋别墅。这样就能确保在建别墅时，不会出现循环。如果不这么规定，那么第一栋别墅的后面那一栋，可能同时也是第七栋别墅的后面一栋。但是，如果有了这个规定，就不会出现联排别墅中，不同的别墅共有同一个后继别墅的情况。
而且，有了这条规定，我们就不会允许横插进来的违章建筑。不会突然出现另一个自然数，比如x，它中途插入进来，也靠在1’’旁边，但又不能排列进这条直线队伍里。
有了这条规定，我们就知道，如果x的后继数是1’’，而且1’的后继数也是1’’，那么x其实就是1’’。
有了前四条公理，我们差不多就能描绘出，自然数是个什么样子了。大概就是沿着一条直线，不断延申，不会最终绕回来，也不会中途循环，也不会有横插在旁边的数字，总之就是像直直的联排别墅那样的结构。
第五条公理这个第五条公理说起来有点长，但它其实数学归纳法。
数学归纳法可是个好东西啊，它可以让我们用有限的规则，理解无限的对象。换句话说，吾生也有涯，而知也无涯。一旦有了数学归纳法，那么以有涯随无涯，就不会殆已。
但是，今天没有时间细说数学归纳法，以后有空再详述。今天只是打个简单的比方，用多米诺骨牌来体会一下这第五条公理的含义。
多米诺骨牌长得就像更薄的麻将。如果我们把许多骨牌立在地上，排成一排。我们就会发现：
1.如果推倒一列骨牌中的任何一个骨牌，那么这个骨牌后面的那个骨牌也会倒下去。
2.推倒这列骨牌中的第一个骨牌。
由1和2可以得到3.这列骨牌全部都会倒下去。
数学归纳法也是类似的思路。它的关键就是证明1这一步，而2这一步相对容易证明，不用太操心。
注意，人们很容易误解1这一步。1这个步骤，本质上是一个条件。“如果天下雨，那么地上就湿”这也是个条件。我们想证明这个条件，那我们不是要证明现在天真的在下雨，也不是要证明现在地上真的湿了。我们是要证明，“如果天下雨，那么地上就湿”，换句话说，就是证明，如果天真的下雨了，那么地是不可能不湿的。
也就是说，要证明“如果n有某个特点，那么n’也有这个特点”，我们要做的不是去看n到底有没有这个特点，也不是去看n’到底有没有这个特点，而是去看，在n有这个特点的前提情况下，n’是不是必然也有这个特点。
加法公理现在，我们有了皮亚诺的五条公理。那么，怎么证明1+1=2呢？
目前还无法证明，因为我们根本不知道“+”这个符号，究竟是什么意思，也不知道“2”这个符号是什么意思。
记住，我们可是一无所知的外星人。严格来说，我们连“=”这个符号都不知道是什么意思。不过，还是让我们先假设外星人也知道“=”是什么意思。
所以，光有皮亚诺公理还不够。为了知道加法的含义，我们还需要补充一些公理。
需要补充多少公理？
肯定是越少越好。皮亚诺就很聪明，只用了两条公理，就完美定义了所有的加法。
一：如果n是自然数，那么，n+1=n’。
二：如果n和m都是自然数，那么n’+m=（n+m）’。
现在，让我们先来用第一条公理。假设n就是1，那么1+1=1’。
1’只要被称之为2，那么就可以得出1+1=2了。是不是很简单？
同理，我们还可以证明1+2=3。
考虑第二条公理，假定m就是1，n也是1，那么1’+1=（1+1）’。
1+1是什么东西？它就是2，同时也就是1’。
所以，2+1=（2）’=（1’）’。
之前没有说，这里提一下，2+1其实也等于1+2。而只要我们把2’，也即是1’’，称之为3。那么我们就可以证明1+2=（2）’=（1’）’=1’’=3了。
同理，我们还可以证明235+234=469，只是会很长而已。
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一个喵呜（𝔃𝓱𝓪𝓸𝔁𝓾～）┏┳━━━━━━━━┓
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┃┃████┃喵┃█┃
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┣┫████┃籍┃█┃
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一个哈密瓜已知一个因数为1，另一个因数也为1
带入公式 a + a = 2a
得到算式 2 * 1
根据定理 任何数乘1都得这个数
解得 2 * 1 = 2
得到 1 + 1 = 2 * 1 = 2
最终得 1 + 1 = 2
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名探酱ChatGPT:
1+1=2的证明可以利用数字的基本定义及符号的定义：
数字1表示1个组成部分，加号表示加法，即把1个1只组成部分加起来，一共就有2个部分，因此1+1=2。
证据：
设X=1，则
X+X=X+1
即
1+1=1+1
显然，1+1=1+1，因此1+1=2。
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10cKYouse1f证明1+1=2的方法有很多，其中一种是基于皮亚诺公理的自然数系统。
皮亚诺公理有五条，分别是：
1. 0是一个自然数。
2. 每个自然数都有一个后继数，即加上1的结果。
3. 0不是任何自然数的后继数。
4. 如果两个自然数的后继数相等，那么这两个自然数也相等。
5. 如果一个集合包含了0，并且对于任何属于该集合的自然数n，它的后继数n'也属于该集合，那么该集合就包含了所有的自然数。
根据这些公理，我们可以定义加法如下：
- 0+m:=m
- (m+n)':=(m+n)'+m
也就是说，任何自然数加上0还是它本身，而任何两个自然数相加的结果再加上1等于这两个自然数中先加上1再相加的结果。
现在我们可以来证明1+1=2了：
- 1+1=1+0'=(1+0)'=1'=2
当然还可以证明其他更复杂的等式，比如“3×5=15”⁴。
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萨卡班甲鱼鱼的屑这个问题可以通过数学公理进行证明。
首先，我们先定义这个问题中的符号含义：
1表示一个数，2表示两个数。
+表示两个数相加的运算符。
那么，根据基础的数学公理，我们可以得出：
1 + 1 = 2
这个结论是不言自明的，并且在任何情况下都成立。因此，我们可以说这个问题已经被证明了。
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萨卡班甲鱼鱼的屑根据数学的基本定义和规律，可以证明1+1=2：
1. 定义： 在数学中，1表示一个单位，2表示两个单位。因此，1+1可以理解为将两个相同的单位合并在一起。
2. 规律： 在十进制下，1表示一个个位数，当两个个位数相加时，如果和小于10，则结果就是一个个位数，大于等于10时，则会产生进位，变成两位数。而1+1=2小于10，因此结果是一个个位数，即2。
综上所述，根据数学的基本定义和规律，可以证明1+1=2。
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梦幻神兽【一.0是自然数；二.每一个确定的自然数是“b”，“b”的后面通常都有一个确定的后继数x'，x'也是自然数；三.如果c、d都是自然数b的后继数，那么c = d；四.0不是任何自然数的后继数；五.设S是自然数集的一个子集，且（1）0属于S；（2）如果n属于S，那么n'也属于S……
【……x不在f的值域内；f为一个单射；若x∈B且“ a∈B蕴涵 f(a)∈B“，则B=X……
【……N(自然数集)不是空集；N到N内存在b→b'的一一映射……
【……若N的子集P既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素，则此子集与N相等……
【并且根据爱因斯坦《相对论》的质能方程，人们很容易推出 “ 光速是宇宙中最快速度 ”。因为，当物体达到光速时，其质量将变得无穷大，与事实不相符。那么，这个光速就等于c，c再等于b……
【……再来看量子力学，它的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。那么它的运动方程等于b，量子态的概念和理论概念的规则即是c=d，对应的就是1/3c=1/3d，二观测物理量就是x，可得1+1=b-（1/3dx3/c）/x……
……所以，1+1的证明为：∵1+1的后继数是1的后继数的后继数，即3，∴2的后继数是3。根据皮亚诺公理③，可得：1+1=10086（省略号部分是因为看不清）】
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我是Sweet如果假设，科学家还没有发现1与2之间有一个自然数或是质数或是偶数，那么，1与2之前可能还有一个数字（有可能是自然数、偶数、质数、奇数、自然数），所以1+1=2这个说法到了以后是不成立的（别理我，一个智，障小学生）
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