猫史档案馆

橘生淮北则为枳

ddd

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飞熊jsrt

貌似是用韦达定理吧🤔

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飞熊jsrt

你好你好你好🤝

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浪漫的疾电猴jDy

💡解答 分析 本题涉及一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）以及直角三角形中三角函数的关系（两锐角正弦值的平方和为 1）。先根据韦达定理得到两根之和与两根之积的表达式，再利用三角函数关系建立方程求解 t，最后要检验 t的值是否满足方程有根的条件。 详解

1. 确定方程为一元二次方程的条件 对于方程\((t + 15)x^{2}-(3t + 5)x + 12 = 0\)，要使其为一元二次方程，则二次项系数\(t+15\neq0\)，即\(t\neq - 15\)。
2. 设方程的两根并表示出两根之和与两根之积 设方程的两根为\(x_1\)，\(x_2\)，根据韦达定理，可得\(x_1 + x_2=\frac{3t + 5}{t + 15}\)，\(x_1x_2=\frac{12}{t + 15}\)。 因为方程的两个根分别是一个直角三角形两个角的正弦值，设这两个角为\(\alpha\)，\(\beta\)，且\(\alpha+\beta = 90^{\circ}\)，那么\(\sin\beta=\cos\alpha\)，由三角函数的平方关系\(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\)。 又因为\((x_1 + x_2)^{2}=x_1^{2}+2x_1x_2+x_2^{2}\)，所以\(x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2\)。 将\(x_1 + x_2=\frac{3t + 5}{t + 15}\)，\(x_1x_2=\frac{12}{t + 15}\)代入\(x_1^{2}+x_2^{2}=1\)中，得到\((\frac{3t + 5}{t + 15})^{2}-2\times\frac{12}{t + 15}=1\)。
3. 求解关于t的方程 先对\((\frac{3t + 5}{t + 15})^{2}-2\times\frac{12}{t + 15}=1\)进行化简： \(\begin{align*} \frac{(3t + 5)^{2}}{(t + 15)^{2}}-\frac{24}{t + 15}&=1\\ \frac{(3t + 5)^{2}-24(t + 15)}{(t + 15)^{2}}&=1\\ (3t + 5)^{2}-24(t + 15)&=(t + 15)^{2}\\ 9t^{2}+30t + 25-24t-360&=t^{2}+30t + 225\\ 9t^{2}+6t-335&=t^{2}+30t + 225\\ 9t^{2}-t^{2}+6t-30t-335 - 225&=0\\ 8t^{2}-24t - 560&=0\\ t^{2}-3t - 70&=0 \end{align*}\) 因式分解得\((t - 10)(t+7)=0\)，解得\(t_1 = 10\)，\(t_2=-7\)。
4. 检验t的值 当\(t = - 7\)时，原方程为\((-7 + 15)x^{2}-[3\times(-7)+5]x + 12 = 0\)，即\(8x^{2}+16x + 12 = 0\)，化简为\(2x^{2}+4x + 3 = 0\)。 此时判别式\(\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\times2\times3=16 - 24=-8<0\)，方程无实数根，所以\(t = - 7\)舍去。 当\(t = 10\)时，原方程为\((10 + 15)x^{2}-(3\times10 + 5)x + 12 = 0\)，即\(25x^{2}-35x + 12 = 0\)，判别式\(\Delta=(-35)^{2}-4\times25\times12=1225 - 1200 = 25>0\)，方程有两个实数根，符合题意。

AI又拿下

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