橘生淮北则为枳查看:28 回复:9 评论:28 创建时间:2023-01-15T15:46:34用户:橘生淮北则为枳查看:28 回复:9 评论:28 创建时间:2023-01-15T15:46:34
设p(x)是n次实系数多项式。若p(x)的根都是实数，求证：p'(x)的根也都是实数。
中二的LittleBoy（刚刚上课去了）我懂了，我们想得太复杂了，它的根全都是实数，说明这个函数的图像在坐标轴内和x轴有n个交点，对应的，就有（n-1）个极大点和极小点（两个交点之间就有一个），而一阶导数为0的点正好就是在原函数的极大点或者极小点上，那它的一阶导数就有（n-1）个实数解，OK，完事，我们在想什么呢【doge】
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橘生淮北则为枳这应该不是一个纯代数的结论。
考虑n次多项式p(x)有k个互不相同的实根x1,...,xk，其重数分别为m1,...,mk，于是有m1+...+mk=n
若x是p(x)的m重根，那么它是p'(x)的m-1重根，因此x1,...,xk分别是p'(x)的(m1-1),...,(mk-1)重根，共计(m1-1)+...+(mk-1)=n-k个。这些根显然是实数。由于p'(x)共有n-1个根，我们仍需要证明剩下的(n-1)-(n-k)=k-1个根也是实数。
最后就是用中值定理了。不妨设x1<...<xk，于是每个xi与x(i+1)之间都存在ξi使得p'(ξi)=0，这些ξ就是剩下的这k-1个根。
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