橘生淮北则为枳查看:251 回复:9 评论:28 创建时间:2023-01-15T15:46:34用户:橘生淮北则为枳查看:251 回复:9 评论:28 创建时间:2023-01-15T15:46:34
设p(x)是n次实系数多项式。若p(x)的根都是实数，求证：p'(x)的根也都是实数。
中二的LittleBoy我有一个很没底的思路，用反证，但我觉得应该不可能
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或许可以试试。
不过我始终想不出来该如何引出矛盾。
哥，你到哪一步了。
哥，我刚才把题发在百度贴吧上了，有人说可以用“把p（x）在R喵解因式，然后取对数求导”
取对数求导？，让我康康
哥，我在百度贴吧上收获了另一种解法，我已经发在上面了。老实说，我没看太懂。
中二的LittleBoy（刚刚上课去了）我懂了，我们想得太复杂了，它的根全都是实数，说明这个函数的图像在坐标轴内和x轴有n个交点，对应的，就有（n-1）个极大点和极小点（两个交点之间就有一个），而一阶导数为0的点正好就是在原函数的极大点或者极小点上，那它的一阶导数就有（n-1）个实数解，OK，完事，我们在想什么呢【doge】
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我没记错的话，只要是驻点导数都为0，但其不一定为极值点。
az……这是个普通的高次代数式，都一样，都一样【doge】
并且，貌似某些很病态的函数极值点不可导也是有的...总之这是个因吹斯汀的问题，你要不再详细的解释一下：P
因吹斯汀？能吃吗？红烧还是清蒸好吃？咳咳，反正这玩意我没听过，我是根据导数值等于这一点的切线的斜率，通过让斜率等于0做的；还有，我发现这题有点问题，当n=1时，有没有方程都不知道，没准搞出来0=1这种式子
n=1的话，不就是一元一次方程了吗？怎么说呢？哦，我的上帝，美丽的第六感告诉我，这个证明或许还需要完善。😏
e……我是说那个导函数是一个常数函数，万一那个直线是y=a，且a≠0，那就废了
也对，这个命题或许陈述的不太清楚，就目前而言，我们很难说证明了它。
我发现最近咱俩的数学帖不行了啊，人家Rt△的帖子每次都是群英荟萃，哪像我们这里【doge】
他的数学帖...钓鱼成分较大？：）
论钓鱼，那我是把鱼钩露在他们面前，还一闪一闪的
我这个，直接把竹竿往水里一甩，钩都不带的，想要被钓的看了之后直接离开八丈远。【doge】
我们这叫做自知之明【doge】
不说了，我去刷题了
现在貌似也不早了吧,虽然对于我来说晚上想数学题确实会更容易有灵感。我大抵是脑喵得太大了，现在竟然想去看欧拉的《无穷分析引论》。【doge】
我先去睡了，在寒冷的夜里坐在电脑前实在比不上温暖的被窝。
橘生淮北则为枳这应该不是一个纯代数的结论。
考虑n次多项式p(x)有k个互不相同的实根x1,...,xk，其重数分别为m1,...,mk，于是有m1+...+mk=n
若x是p(x)的m重根，那么它是p'(x)的m-1重根，因此x1,...,xk分别是p'(x)的(m1-1),...,(mk-1)重根，共计(m1-1)+...+(mk-1)=n-k个。这些根显然是实数。由于p'(x)共有n-1个根，我们仍需要证明剩下的(n-1)-(n-k)=k-1个根也是实数。
最后就是用中值定理了。不妨设x1<...<xk，于是每个xi与x(i+1)之间都存在ξi使得p'(ξi)=0，这些ξ就是剩下的这k-1个根。
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PlumSteven回去恶补了一下导数才来的
我<-六年级的蒟蒻
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如果你愿意的话可以去看看我之前的一篇远古贴，如果能解答出来，到不失为一桩好事。（doge）
https://shequ.codemao.cn/community/513617
PlumSteven啊研究了好久微分
不干了
还是循序渐进吧（我才学完高一的那个函数单元）
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同六年级，看完了单变量分析学，级数和极限没细看。
不过你的编程很强。
？How do you know？
看你发的帖子。
