中二的LittleBoy查看:34 回复:5 评论:34 创建时间:2022-12-29T20:06:15用户:中二的LittleBoy查看:34 回复:5 评论:34 创建时间:2022-12-29T20:06:15
相信对于学习得有些超前的人来说，自然常数（有些书可能叫欧拉数）e和圆周率π缺席不了，用数学的话来说，这两个数，体现了数学的没敢……啊不是喵。
e，π，都是超越数，而且是非常自然地产生的，不像刘维尔数，是“没有灵魂”的。它有一个实际意义，就是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
e我们要用极限表示的话，我们先看一下最常见的一种（我把它当做定义）：
首先我们先看一下这个表示是怎么样的：
100次：e=2.704813829421528
500次：e=2.715568520651728
1000次：e=2.716923932235594
很好，这几个数字非常的e.
第二种，便是下面这个：
我相信这个表示和上面的表示，大家十分熟悉，我刚开始接触e也是这个定义，我们先把用（这里的）定义它证明一下：
由二项式定理得：
OK，我们看一下怎么样：
100次：2.718281828459046（100以上太大就算不出来了，但这个数在小数点后14位已经和e一样了）
很好，这个数也很e.
其实，e的话不止这么多表达方式，还有很多，像连分数啊，还有一些无穷级展开式有兴趣你们可以搜一下，我在这里就不多赘述了。
tip：别看都是图片，是我在几何画板里自己搞的，没抄袭啊
橘生淮北则为枳我来写个关于e的不等式吧：
第一个：e^x >= x+1
这个不等式可以用单调性和导数来证明，不过嘛，不够优雅，我们使用泰勒公式来证明。
首先，不加证明的给出e^x的泰勒展开式：
则不难得出e^x - (x+1) = x^ 2/2! + ...... + x^n/n!+......,等号右边的每一项皆为正数，故不等式成立，当且仅当x = 0时取得等号。
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橘生淮北则为枳对了，用e^x>=x+1这个不等式可以引出另一个不等式：e^x>=ex
取x = y-1，则得到：e^(y-1) >= y,在两侧同时乘以e即得到了不等式。
（顺便默默膜拜一下欧拉。）
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