猫史档案馆

相信学三角形的朋友，都知道这三角形的五心：内（I）外（O）重（G）垂（H）旁（O'）.

我们都知道，这几个点都是那几条线交于一点所成，但很多人还是不知道怎么回事啊：凭啥好端端几条线，必须交于一点呢？各管各的不行吗？

所以我今天就给大家拢吧拢吧这五心的证明过程，以及一点拓展，全是干货，还可以在全班同学面前装杯哦【doge】（为此还特地给你们用几何画板）

一：贼提莫好证型，内，外，旁.

这三个，只要你把三角形基础学会了，你都会.

1.内心：三条角平分线的交点

证：AD,BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，交于I.

∴I到AB的距离=I到AC的距离；I到AB的距离=I到BC的距离

∴I到AC的距离=I到BC的距离

∴I在∠ACB角平分线上.

∴三角形三条角平分线交于一点，且到三边距离相等.

2.外心：三边中垂线的交点

证：OD,OE分别为BC,AC的中垂线.

∴OC=OB,OB=OA

∴OA=OB.

∴三角形三边中垂线交于一点

3.旁心：三角形一个内角和两个不相邻的外角角平分线交点

证：AO',BO'为△ABC两个外角的角平分线.

∴O'到AB的距离=O'到AC的距离；O'到AB的距离=O'到BC的距离

∴O'到AC的距离=O'到BC的距离

∴O'在∠ABC角平分线上.

二：想证但又证不出来型

遇到这种怎么办呢？哎，就需要那么一点，思维.这可以是平面几何五大定理，即梅（涅劳斯定理）赛（瓦定理）托（勒密）西（姆松定理）欧（拉线），这次我顺便会把欧拉线证一下，剩下的下次搞.

4.重心：三边中线交点

重心嘛，你说很难，确实，它要几个相似搞出来；你说简单，确实，直接赛瓦定理逆定理整出来就行.

赛瓦定理逆定理是什么呢？大概意思就是：△ABC三边AB,BC,CA上有三点D,E,F,若（AD/DB）·（BE/EC）·（CF/FA）=1，则CD,AE,BF三线交于一点.

而在这里，都是中点了，那肯定满足上面的式子嘛，所以三线交于一点G.

5.垂心：三边高线交点

这玩意我重点说，因为我写着写着，突然又想到另一种绝妙的证法,不用搞这么多

法1）转化为中垂线

分别过A,B,C作BC,CA,AB的平行线，交于D,E,F三点.

∴△ABC∽△DEF

又∵易证四边形ACBF,ACDB为平行四边形

∴BD=BF

同理可得，AE=AF,CD=CE

∴△ABC三边的高线就是△DEF三边的中垂线.

∴三角形三条高线交于一点.

法2）直接导共圆（刚想到的）

分别过B,C作CA,AB的垂线，垂足为E,F.

则B,D,H,F共圆，C,D,H,E共圆，B,C,E,F共圆.

∴∠BDF=∠BHF，∠CDE=∠CHE，∠EBF=∠ECF，∠FBH=∠FDH，∠ECH=∠EDH，∠BHF=∠CHE

∴∠BDF=∠CDE，∠EDH=∠FDH

∵∠ADB=∠ADC=90°

三：那么一点点拓展——欧拉线

这个玩意是这么说的：三角形的外心，垂心，重心三点共线，此线名为欧拉线，且GH=2OG

证：作△ABC的外接○O，连结BO并延长交○O于点K，过A,C作BC,AB的垂线，垂足为D,E，交于点H，过O作OM⊥BC，垂足为M，连结AM,OH交于点G，连结KA,KC.（冗长的辅助线，但可以做，只需证G为重心）

易得O,H为△ABC的外心，垂心，△OMG∽△AHG

∵OM⊥BC

∴BM=CM，即M为BC中点

∵O为BK中点，

∴CK=2OM

∵BK为直径，

∴∠BAK=∠BCK=90°

∴AK∥CH，CK∥AH

∴四边形AKCH为平行四边形

∴AH=CK=2OM

∴AG=2MG,OG=2HG

∴G为△ABC的重心，且GH=2OG

（本帖为本人原创，证明方法如有雷同，纯属巧合）