猫史档案馆

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1，定义

调和平均Hn=n/(∑(1/ai))

几何平均Gn=(∏ai)^(1/n)

算数平均An=(∑ai)/n

平方平均Qn=(∑(ai^2)/n)^(1/2)

则Qn>=An>=Gn>=Hn

四个等号都是在a1=a2=...=an>=0取到

一般使用：An>=Gn，即算数-几何均值不等式

2，证明：

1. An>=Gn

当n=1，2时结论显然成立。

①当n=k时结论成立：设A1,A2,G1,G2。（A1,A2为k个数的算数平均，G为几何平均）

因为n=2成立 所以A2k=(A1+A2)/4>=(A1A2)^1/2>=(G1G2)^1/2=G2k,则n=2k结论成立

②当n=k+1结论成立：令a(k+1)=Ak。

∴Ak=Ak+1>=(Gk^k *Ak)^(1/k+1)

两边同时(k+1)次方，Ak^(k+1)>=Gk^k*Ak,Ak>=Gk

则n=k时结论也成立。

∴这是一种奇葩的数学归纳法，但它真的能用

2.Qn>=An

两边同时平方：即证(∑ai)^2<=n*∑(ai^2)

左边展开=∑(ai^2)+∑(1<i<j<n)(2aiaj)<=∑(ai^2)+∑(1<i<j<n)(ai^2+aj^2) (由A2>=G2变形得到)   =n∑(ai^2)

∴水题，证完

3.Gn>=Hn

两边同时取倒数，即证∑(1/ai)/n>=∏(1/ai)^(1/n)

∴你猜猜为什么成立 作业题一道

3，例题

1，abc=1,求证1/a+1/b+1/c>=√a+√b+√c

解：右边=1/2∑(2√1/bc)<=(此处A2>=G2)1/2*∑(1/b+1/c)=∑1/a=左边

 

4，《简 单 练 习》

1，延续过程证Gn>=Hn

（完全水题，脚做都行）

2，x1*x2*......*xn=1

求证∑(1/xi(xi+1))>=n/2

（脑洞不大，随便处理）

3，abcd=1，a+b+c+d>a/b+b/c+c/d+d/a

求证a+b+c+d<b/a+c/b+d/c+a/d

（脑洞很大，谨慎处理）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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