猫史档案馆

 

大家好我是慕斯，最近打算出一些扫盲类的教程，

发现有很多小伙伴不知道三角函数是什么，在此写个扫盲教程

（内容十分简单，对于学过的人可以直接跳过不看）

虽然三角函数是数学上的内容，但你造东西也好考NCT什么的也好都是需要它的

欢迎纠错

作者自拍（雾）

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十分钟学明白三角函数

 

1.0从相似三角形开始说起：

1.1相似是啥

大家去商场买衣服，衣服有S、M、L、XL、XXXXXXL等多种不同的尺码，虽然衣服大小有所不同，但其形状没变

我们将形状相同，大小不一定相同的图形叫相似图形

比如图中相同颜色的图形就是相似图形

相似图形可以理解为将一个图形进行整体“缩放”得到的结果

1.2相似性质：

我们不难发现，即使你把一个“角”缩放，它的角度也不会因此扩大

也就是说，图形整体缩放过后它的角是不会改变的，所以我们就得到了相似图形的性质1

相似图形对应角相等

（对应角指的是“缩放前”与“缩放后”相应的角）

我们再继续想，即使经过缩放，但每条边缩放的倍率都一样

对于一组相似图形，它们缩放后的某条边长L’和缩放前的边长L相除，结果就是缩放的倍率

因为缩放是整体的缩放，故这个结果是个固定的值k

我们得出了相似图形的性质2

相似图形对应边成比例

这句话可能有些难理解，

意思就是L’/L=N’/N=k

两图形每对对应的边长度的比值都是一个定值，这个定值我们就叫它“相似比”

1.3相似三角形

由我们之前的结论，相似三角形是一个很有意思的特例

如果两个三角形三个角都相等，那么它们一定相似（因为形状相同）

可“三个角相等”的条件或许比较苛刻，我们能否将它简化呢？

当然可以，因为三角形内角和是180°

在三角形ABC中，有∠A+∠B+∠C=180° （∠A意思是以A为顶点的角）

如果∠A和∠B确定了，那么∠C也能定下来，所以我们就得到了相似三角形的判定1

两个角对应相等的三角形是相似三角形

 

相应地，我们不难发现下面两条判定三角形相似的方法

相似三角形判定2：三边对应成比例的三角形是相似三角形

相似三角形判定3：两边对应成比例，且其夹角相等的三角形是相似三角形

我们用∽符号来表示相似图形 比如△ABC∽△DEF 意为三角形ABC和DEF相似

且A与D是对应的点，B与E是对应的点，C与F是对应的点

总结起来就是下图

 

 

2.0从相似图形到锐角三角函数

我们有了相似图形，就不难发现

对于两个锐角相等的直角三角形，它们“一个锐角相等”，还都有“90°的直角”

它们就是相似图形，所以它们对应边成比例

这样，对于一个锐角为∠A，直角为∠C的三角形ABC，角A所对的边BC（也记做a）和角B对的边AC（也记做b）和角C对的边AB（也记做c）之间一定成比例

即a/b 和 a/c 和b/c 这些比例 只与这个锐角∠A有某种对应关系

比如对于等腰直角三角形，∠A=45° 那么a/b=1 a/c=b/c=√2/2（详情见勾股定理）

可这种“对应关系”是啥呢？也不像是我们学过的函数

既然我们不能把它变成我们学过的东西，那么它就是新的一种“函数”

也就是“锐角三角函数”

我们定义

SinA是 对边/斜边=BC/AB=a/c

CosA是 临边/斜边=AC/AB=b/c

TanA是 对边/临边=BC/AC=a/b

具体关系可以自己比划比划

注：还有一个不常用的cot 是临边/对边=b/a

对于所有直角三角形，我们只要知道一个角，就能相应地得到边的关系

2.1三角函数的应用之解直角三角形

sin37°≈0.6

那么对于一个∠C=90°，∠A=37°，AB=10的直角三角形

因为sinA=a/c=BC/AB = BC/10

所以BC/10 = 0.6 解得BC=6

相应地根据勾股定理 AB²=BC²+AC² 所以AC=8

像这样，已知直角三角形的部分边角元素，来求它的其它未知的元素的过程就是“解直角三角形”

2.2三角函数的简单性质

我们有了“三角函数”，虽然不知道它具体是怎么算出来的，但可以自己发现一些简单但很实用的性质

性质1：sin²A+cos²A=1

证明如下：

在三角形ABC中∠C=90°

sinA=a/c cosA=b/c

Sin²A+cos²A=a²/c²+b²/c²=(a²+b²)/c²

由勾股定理a²+b²=c²

sin²A+cos²A=c²/c²=1

证毕

 

性质2：sinα=cos（90°-α） （α是直角三角形里的一个锐角）

证明：

在三角形ABC中∠C=90° ∠A=α

由三角形内角和180°：∠B=90°-α

Sinα=sinA=a/c

Cos(90°-α)=cosB=a/c （自己可以借助上面的图看一看）

证毕

 

以及性质3：tanA=sinA/cosA （这个非常显然了，直接代入就行）

 

2.3特殊角的三角函数

这几个角的三角函数非常好推导得出，所以可以直接用到

 

sin

cos

tan

30°

1/2

√3/2

√3/3

45°

√2/2

√2/2

1

60°

√3/2

1/2

√3

有兴趣的同学可以结合勾股定理自己推导一下，非常好推

有想法的同学可以试着找找15°和75°的三角函数

 

2.4三角函数的例题

下面是几个简单例题大家自己试着做一下（sin²x=sinx * sinx）

 

 

3.0及以后的部分下个帖子再发（想必也得看了十分钟吧）

希望大家看完这个帖子之后能对三角函数是什么加以认识