爵士OIer查看:0 回复:5 评论:0 创建时间:2020-06-30T18:42:19用户:爵士OIer查看:0 回复:5 评论:0 创建时间:2020-06-30T18:42:19
【爵士的数学教程】程序设计的数学基础：函数（三）注：如看不懂本篇教程，请移步https://shequ.codemao.cn/community/314925
目录
·函数介绍讲解二次函数
·习题基本初等函数的第二套习题
基本初等函数（一）
一、函数介绍（二）
幂函数（二）
二次函数
（一）知识概要
解析式
y=f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0）
其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
【重点】图像
当a>0，函数呈上开口的抛物线；
当a<0，函数呈下开口的抛物线。
表达式 y=ax^2 y=a(x-m)^2 y=a(x-m)^2+k y=ax^2+bx+c
顶点坐标 (0,0) (m,0) (m,k) ( -b/(2a) , (4ac-b^2)/(2a) )
对称轴 x=0 x=m x=m x=-b/(2a)
【重点】方程求解
求当y=0时该函数的自变量的值，一般有如下几种方法：
1.因式分解法
将解析式分解为(px+u)(qx+w)的形式，此时px1+u=0,px2+u=0，这里x1，x2就是方程的两个根。
(1)十字相乘
部分形如ax^2+bx+c的式子可以分解为：
pqx^2+(pw+qu)x+uw
的形式。
此时将其因式分解，得
原式=(px+u)(qx+w)
(2)提取公因式
将公因式提取后在因式分解会更简便。
(3)逆用公式法
乘法公式一般有：
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
( a +(-) b ) ( a^2 -(+) ab +b^2 ) = a^3=b^3
2.一元二次求根公式硬推
形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程的求根公式如下：
x = [ -b +(-) sqrt( b^2 - 4ac ) ] / ( 2a )
3.几何意义
画出函数，抛物线与x轴相交时x的值就是方程的解。
（二）例题讲解
【例1】函数y=ax^2+bx+c的图像是下开口的抛物线，对称轴为正，顶点在 x轴的上方，曲线与y交于正半轴，求a,b,c的取值范围。
解：
开口向下，则a<0；
与y交于正半轴，则c>0；
对称轴x=-b/(2a)>0，则b>0。
【例二】直线y1=x+b与抛物线y2=x^2+c交于点A(3,5)和点B
求b,c的值和B的坐标。
解：
将x=3,y=5分别代入两函数，得b=2,c=-4
则两函数分别为y=x+2,y=x^2-4
联立，得x=-2,y=0或x=3,y=5
则点B为(-2,0)。
（三）拓展
对二次函数f(x)=ax^2+bx+c讲解如下几个拓展
【拓展一】
(1)a>0
x<=-b/(2a)时，导函数值<=0，y随x增大而减小
x>=-b/(2a)时，导函数值>=0，y随x增大而增大
(2)a<0
x<=-b/(2a)时，导函数值>=0，y随x增大而增大
x>=-b/(2a)时，导函数值<=0，y随x增大而减小
【拓展二】
(1)图像与y轴交于(0,c)
(2)若b^2-4ac>0，与x轴交于( 该函数的值等0时x的两个根 , 0 )
(3)若b^2-4ac=0，与x轴交于( 该函数的值等0时x的一个根 , 0 )
(4)若b^2-4ac<0，与x轴没有交点（根是虚数，不在实数坐标系）
【拓展三】
(1)当a>0时，x=-b/(2a)时y有最小值(4ac-b^2)/(4a)
(2)当a<0时，x=-b/(2a)时y有最大值(4ac-b^2)/(4a)
二、习题
1.设函数f(x)={ x^3+4x+1(x>=3) , x+2(x<1) }，求f(x+4)
2.下列函数是否有界？
y=1/x^2，a<=x<=1（0<a<1）
y=xcosx，x为任意实数
3.求双曲正弦函数 y = [ e^x - e^(-x) ] / 2 的反函数
