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【爵士跟着慕斯酱写数学教程】程序设计的数学基础：函数（二）

 

目录

 

·目录

·引言

·概念

·特性

·基本初等函数

·习题

·附录

 

我认为对于一个想要学好程序设计的人来说，有一定的数学基础是必不可少的。

为此我专门看了几篇帖子，比如：

之前有一个帖子https://shequ.codemao.cn/community/172523

这个帖子就是经过我的推荐才加精的。

我觉得里面讲的比较清楚。当然如果你真正的接触微积分，你会发现事实并没有这么简单。举个例子，在同济大学的高等数学考研教材中，仅仅关于导数就写了整整一章，而第一节就有类似这么些东西的算式：

存在函数f(x)，lim[x->x0]时f'(x)=[f(x+x-x0)-f(x)]/(x-x0)

内容有可能不是特别精确，但含义是一样的。

所以说我认为在深入学习微积分前，必须要了解函数。至于函数，则是程序设计中极其重要的。所以，深入了解函数是做好程序设计的必要条件，但不是充分条件。

 

 

一、概念

 

 

1.定义：

给定集合X，若存在某种对应规则f，对于∀x∈X（翻译过来就是：对于任意属于X的x）存在唯一的y∈R与之对应，称f是从X到R的一个函数，记作y=f(x)；X称为定义域，x称为自变量，y称为因变量，{ f(x) | x∈X } 为值域。

 

2.函数的图形：

平面上的点集 { ( x,f(x) ) | x∈X } 称为函数f(x)的图形。

 

3.复合函数：

设函数y=f(u)的定义域包含u=g(x)的值域，则在函数g(x)的定义域X上可以确定一个函数y=f[g(x)]，称g与f的复合函数，记作y=f[g(x)]或y=f○g。

复合函数的结合律成立，(f○g)○h=f○(g○h)，但没有交换律，即f○g≠g○f

 

4.反函数：

如果y=f(x)中对于每一个x都有唯一的y且对于每一个y都只能由唯一一个x计算出，则函数x=f(y)为y=f(x)的反函数，记作

y=f^(-1)(x)。反函数的值域和定义域分别是函数的定义域和值域。

 

5.初等函数：

能由基本初等函数经过有限次四则运算及复合运算后所得到的函数。

 

 

二、特性

 

 

1.奇偶性

奇函数：函数f(x)在X上定义，∀x，满足-x∈X且f(-x)=-f(x)，称f(x)为奇函数。

偶函数：函数f(x)在X上定义，∀x，满足-x∈X且f(-x)=f(x)，称f(x)为奇函数。

 

2.单调性

单调上升（单调递增）：函数f(x)在X上定义，∀ x1,x2 ∈X，如果当x1<x2时f(x1)<=f(x2)恒成立，那么函数f(x)单调上升（单调递增）。

单调下降（单调递减）：函数f(x)在X上定义，∀ x1,x2 ∈X，如果当x1<x2时f(x1)》=f(x2)恒成立，那么函数f(x)单调下降（单调递减）。

如果严格不等号成立，则称严格单调上升/下降。

 

3.有界性

函数f(x)在X上定义，∃M>0，∀x∈X，有|f(x)|<=M（或∃m,M，使得m<=f(x)<=M成立），则称函数f(x)在X上有界。

 

4.喵性

函数f(x)在X上定义，∀M>0，∃x'∈X，使得|f(x')|>M则称函数f(x)在X上喵。

 

5.对应性

如果y=f(x)中对于每一个x都有唯一的y且对于每一个y都只能由唯一一个x计算出，则函数f(x)在X是一一对应的。

即：∀ x1,x2 ∈X，如果x1≠x2则f(x1)≠f(x2) 且 如果x1=x2则f(x1)=f(x2)，则函数f(x)在X是一一对应的。

 

 

基本初等函数（一）

 

 

幂函数（一）

 

1.一次函数

 

概述

一次函数的一般表达形式为y=kx+b。其中a、b是系数，b可以是任意确定的实数，a不为0。

 

图像

一次函数的图像是一条直线。在k>0时，函数严格递增。在k<0时，函数严格递减。b增大时，直线上移，反之亦然。

 

 

 

 

【例】

函数y=ax+b在x=0时y=2，在x=2时y=0，求该函数的表达式 f 。

解；
将x=0带入函数得2=b，即b=2；
再将x=2带入函数，得0=2a+2，解得a=-1
故函数为y=-x+2

 

 

2.反比例函数

 

概述

反比例函数表达形式为y=kx^-1，指数为-1。自变量、因变量满足xy=k，即y=k/x，其中k为比例系数，k不等于0，x不等于0。

 

图像

反比例函数的图像是双曲线。图像永不和平面直角坐标轴相交。k越小，曲线约像原点凹陷。k>0时在1、3象限，k<0在2、4象限。

 

 

 

 

【例1】

函数y=k/x当x=1,y=5;那么当x=10,y=   0.5   

解：
将x=1,y=5带入求得k=5
因此原函数为y=5/x
当x=10,y=0.5

 

 

【例2】

在函数y=k/x上取一点A，过A做直线AB垂直于x轴，连接A和原点O。求三角形ABO的面积。

解：
设A处的坐标为(a,b)
对于每一个a,b，满足a*b=k
因此，由三角新面积公式可得三角形ABO的面积为|a*b/2|=|k/2|

 

 

【例3】

对于函数y=(3x+a)/(x+b)，当x=x0时函数值也为x0，则称点(x0,x0)为“不动点”。

若该函数有“不动点”(4,4)和(-4,-4)，求a和b的值。

解：
将(4,4)和(-4,-4)带入函数y=(3x+a)/(x+b)
解得a=16,b=3

 

 

 

【综合训练】

 

 

1.函数y=kx(k>0)与y=3/x的图像交于A、C两点，AB垂直x轴于点B，CD垂直x轴于点D，顺次连接ABCD，求四边形ABCD的面积。

2.判断一下函数是否相等：f(x)=x/x和g(x)=1

3.求函数f(x)=sqrt(4-x^2)+1/(lgcosx)的定义域。

 

 

【附】

 

1.常用的符号

∀：任意     ∃：存在     ∈：属于

2.说明

由于前一个帖子时间过于匆忙，错误百出，请谅解。本贴就好多了。

3.慕斯酱快来写2.5