猫史档案馆

大家好，之前我分析了祖父悖论。

那么今天我分析一下阿基里斯悖论。

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这个悖论主要讲的是乌龟和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了10米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他1米；当阿基里斯跑完下一个1米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他1/100米；当阿基里斯跑完下一个1/100米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1/1000米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追喵。

 

下面让我们回答一下这个问题。

 

假定他们一开始相距10米乌龟每秒1m，阿基里斯每秒10m。不难求出只需要10/9秒就追上了。但是为什么会出现上述悖论？

我们算一下距离。第一回合阿基里斯到了10米的位置，乌龟到了11米；第二回合阿基里斯到了11.1米，在之后到了11.11米……以此类推。不难发现悖论所讲的情况中，阿基里斯在无数个会合后他的位置极限会在100/9的位置，而乌龟的极限也是在这里。由于已经尽过了无数个回合，所以阿基里斯永远也追不上乌龟，这就是悖论中所讲的。

 

然而我们现在跳出这个循环，看一看100/9米到底表示什么。我们将阿基里斯的速度乘以之前算出来的10/9s，会发现结果正是100/9！

这意味着，悖论所描述的阿基里斯最多能行走的距离，实际上是指阿基里斯没有追上乌龟时最多能走得距离。因为题目所描述的时间的极限就是阿基里斯追上乌龟所需的时间。

 

那么问题就很简单了，这个悖论是详谬的。我们把题目金国计算之后翻译过来就是：

当阿基里斯没有追上乌龟时，阿基里斯永远也追不上乌龟。

这完全是废话。

 

 

综上所述，阿基里斯是可以解决的。因为这个以10^-n减小的数列，即使n→∞，也是有极限的。

 

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附上：祖父悖论链接

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