猫史档案馆

之前看有小朋友发帖讨论过导数（微分）的定义。我看了看，觉得讲的不太清楚。似懂非懂，今天给大家再来梳理一遍。

 

我们先从一个简单的问题来引入导数（微分）的概念：

一辆车每小时行驶2km。即y（路程）=2x（时间）：

学过函数的同学都知道，在如同y=2x这样的函数中，2是k值，表示函数的斜率，也表示的了车的行驶速度。

 

换一个问题：

一辆行驶的路程（km）始终为行驶小时的平方，即y（路程）=x²（时间）：

从上图可以看出该车是不断加速的。这不是直线函数，是曲线，曲线函数每一点的k是不同的：

现在问题来了，姐姐想问问你车在正好行驶到两个小时的时候它的速度是多少？请你先不要急着往下看，仔细思考一下这个问题。

这可难倒了不少小朋友呢！在一次函数中，因为函数一直是一条直线的，只要带入两点坐标就可以求出函数解析式，顺便也得到了该函数的k值。（初中生应该深有体会，小学生可以上网查查，这个概念不难）也就是说，现有的数学工具只能在确定两个点坐标的情况下，求出过两点的一次函数的K值，不可能在只有一个点的情况下，确定该点的K值。

 

那么如何求当x=2时在y=x²上的斜率呢？这个时候，就要请出我们的导数（微分），下面请听姐姐慢慢道来：

根据我们刚才的分析，只有确定两个点，才可以求过两点的一次函数的K值。在只有一个点的时候（前提是该点必须在函数曲线上中哦，直接平面直角坐标系中的一个点是真的没有k的。）我们其实可以再构造一个点！

请大家先回忆/学习一个公式（初中生如果这都不会就要努力学习了！），可以化简我们一会儿的运算:

很好证，大家可以上网搜一下或者自己证一下，小学生也可以证的出来！

 

我们要求当x=2时在y=x²上的斜率：

在x=3的地方也打上一个点：

并算出过它们两个的一次函数的斜率：
虽然这不是最准确的答案，但也可圈可点。

继续，在我们在2.5的地方构造一个点，并算出过它们两个的一次函数的斜率：

找到规律没有？如果你继续这个操作，不断的缩小构造的点的x坐标和x=2之间的距离，得到的结论便会越精确，逐渐逼近一个数，那就是该点的斜率。

那么我们令：Lim是limited的缩写，意为限制，是微分中的一个数学符号，现在你也学到了吧！

我们要求出过x=2，和x=2+Δx的函数的斜率，其实就是求出了x=2的点斜率：

如果你认认真真的看完了这篇教程，恭喜你，你已经掌握了微分的基本操作。

微分，一个高大上的名字。其实顾名思义，就是把函数的一段无限的细分，以求得斜率！

 

函数微分是机器学习的最基础，不深刻理解，根本无法理解后续的梯度下降。想学习的同学要认真啊！